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By Ernst Hairer, Gerhard Wanner, Andreas Lochmann

Diese Einführung in die research orientiert sich in ihrem Aufbau an der zeitlichen Entwicklung der Themen. Die ersten zwei Kapitel schlagen den Bogen von historischen Berechnungsmethoden praktischer Problemen hin zu unendlichen Reihen, Differential- und Integralrechnung und zu Differentialgleichungen. Das Etablieren einer mathematisch stringenten Denkhaltung im 19. Jahrhundert für research ein und mehrerer Variablen wird in den Kapiteln III und IV behandelt. Viele Beispiele, Berechnungen und Bilder ergänzen das Buch und machen es zu einem Lesevergnügen für Studierende, Lehrer und Forscher. Aus den Besprechungen: the purpose of this attention-grabbing new contribution to the sequence Readings in arithmetic is an try to repair the ancient order within the presentation of easy mathematical analysis...such a historic strategy grants a truly fruitful and fascinating method of mathematical research. Jean Mawhin, Zentralblatt The authors comprise a number of once-traditional topics that have now vanished from the research curriculum. ...The paintings is especially good illustrated. The booklet is easily an research textual content, instead of a heritage, yet loads of trustworthy old fabric is incorporated. For these looking a substitute for the conventional technique, it kind of feels to me to be of serious curiosity. Thomas Archibald, Mathematical stories The authors...have assembled a magnificent array of annotated effects, quotations, tables, charts, figures and drawings, many copied from unique documents....they write with nice enthusiasm and with glaring affection for either research and historical past. John Troutman, American Mathematical Monthly

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22 5 x 5! 26 30 34 − . . und cos x = 1 − 2 x 2! 38 + 4 x 4! 42 −... Die Reihen von tan x. Wir setzen y = tan x = sin x = a1 x + a3 x3 + a5 x5 + a7 x7 + . . cos x Um a1 , a3 , a5 , . . 17): x− x3 x5 + − . . = a1 x + a3 x3 + a5 x5 + . . 6 120 1− x2 x4 + − ... 2 24 Vergleichen wir die Koeffizienten von x, x3 und x5 , erhalten wir 1 = a1 , − 1 a1 = − + a3 , 6 2 1 a1 a3 = − + a5 , 120 24 2 und damit a1 = 1, 1 1 1 a3 = − + = , 6 2 3 a5 = 1 1 1 2 − + = . 18) tan x = x + x3 2 x5 17 x7 62 x9 1382 x11 21844 x13 + + + + + +...

A1 x + a3 x3 + a5 x5 + . . 6 120 1− x2 x4 + − ... 2 24 Vergleichen wir die Koeffizienten von x, x3 und x5 , erhalten wir 1 = a1 , − 1 a1 = − + a3 , 6 2 1 a1 a3 = − + a5 , 120 24 2 und damit a1 = 1, 1 1 1 a3 = − + = , 6 2 3 a5 = 1 1 1 2 − + = . 18) tan x = x + x3 2 x5 17 x7 62 x9 1382 x11 21844 x13 + + + + + +... 3 15 315 2835 155925 6081075 Man sieht zun¨achst keine allgemeine Regel in den Koeffizienten. 10). Antike Berechnungen und Tabellen. 4′ ) die Werte von sin 3◦ , cos 3◦ oder, wie es damals u¨ blich war, chord 6◦ bestimmen.

1 zu 1+ 1 N N z xb b b b b b V a 27 1 N. Wir berechnen N N (N − 1) 1 N(N − 1)(N − 2) 1 + + + ... N 1·2 N2 1·2·3 N3 1(1 − N1 ) 1(1 − N1 )(1 − N2 ) =1+1+ + +... 1·2 1·2·3 =1+ Ohne mit der Wimper zu zucken, behauptet Euler nun: Wenn N eine Zahl ist ” gr¨oßer als jede bestimmbare Zahl, dann ist NN−1 gleich 1“. 17) e=1+1+ 1 1 1 + + + ... 1·2 1·2·3 1·2·3·4 konvergiert. Wir m¨ochten betonen, dass dieses Argument gef¨ahrlich ist, da es unendlich oft angewendet werden muss. + = 0 + 0 + 0 + . . = 0. 2 zur¨uckkommen.

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