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By Wolfram Koepf

Dieses Lehrbuch gibt eine Einf?hrung in das moderne Gebiet der Computeralgebra. W?hrend die ersten nine Kapitel den Standardkanon abdecken, werden in den restlichen three Kapiteln Themen behandelt, welche in dieser shape noch nicht in Lehrbuchform erschienen sind und sich f?r eine weiterf?hrende Vorlesung anbieten. Die betrachteten Algorithmen werden in Sitzungen mit dem Computeralgebrasystem Mathematica programmiert und getestet. Alle Sitzungen werden alternativ auch als Worksheets f?r Maple und MuPAD im web bereitgestellt, so dass Mathematica g?nzlich durch Maple oder MuPAD ersetzt werden kann. Durch die Verwendung realer Implementierungen anstelle von Pseudocode werden die betrachteten Algorithmen sofort anwendbar und ?berpr?fbar. Kenntnisse der h?heren Algebra werden nicht vorausgesetzt, dennoch werden alle Beweise gef?hrt. Da das Buch elementar gehalten ist und einen sehr ausf?hrlichen Index besitzt, ist es auch als Nachschlagewerk ?ber Algorithmen der Computeralgebra intestine geeignet.

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Uberpr¨ ufen Sie diese Vermutung! ) Berechnen Sie Bk x f¨ur k 0, , 5. F¨ur jeden Koeffizienten ak > 0 aus (a) stellt sich heraus, daß alle Koeffizienten des Polynoms Bk x nichtnegativ sind. Ist aber ak < 0 in (a) f¨ur ein k 1, 2, 3, , dann muß auch (mindestens) ein Koeffizient des Polynoms Bk x negativ sein (siehe [Rob1978]–[Rob1989]). Gibt es einen solchen Fall? Falls ja, f¨ur welches k tritt dies zum ersten Mal auf? Berechnen Sie Bk x in diesem Fall. 4 (Kinetische Energie) In der klassischen Mechanik hat ein K¨orper der Ruhemasse m0 und der Geschwindigkeit v eine kinetische Energie Ekin 21 1 m v2 .

Wenden Sie die Regeln auf den Ausdruck 2 ln x 3 ln y 4 ln z an. Achtung: Die Logarithmus-Funktion ln heißt in Mathematica Log. Funktion. Warum? 4 F¨uhren Sie Rechenzeitmessungen (Timing) f¨ur die eingebaute Funktion n! sowie f¨ur unsere Funktionen Fak1 bis Fak7 durch und versuchen Sie, die Rechenzeiten zu erkl¨aren. 000 und unterdr¨ucken Sie die Ausgabe mit ;, um die reine Rechenzeit zu bestimmen. Setzen Sie $RecursionLimit geeignet fest. 2) mit Induktion. 6 Programmieren Sie die Fibonaccizahlen iterativ mit der definierenden Rekursion und Nest.

Hierbei ist die letzte Anweisung das Resultat des Moduls. 6 Bei obigem Programm ist die Angabe der lokalen Variablen x wichtig, da es sonst Konflikte geben k¨onnte mit einer im Notebook bereits vorhandenen (globalen) Variablen desselben Namens. Diese w¨urde (als Seiteneffekt) beim Aufruf des Programms ver¨andert werden, falls x nicht als lokal deklariert ist. Nat¨urlich k¨onnen auch die betrachteten Hochsprachenversionen programmiert werden: 6 Man gew¨ohne sich ab, das Programm – wie evtl. in Pascal – vor der schließenden Klammer mit einem Semikolon abzuschließen.

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