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By Hermann Weyl

Dieser textual content ist die Transkription einer Vorlesung zur Funktionentheorie, die Hermann Weyl im Wintersemester 1910-11 an der Universit?t G?ttingen gehalten hat, kurz vor der Entstehung seines einflussreichen Buches ?ber Riemannsche Fl?chen, das auf der Fortsetzung dieser Vorlesung im Sommersemester 1911 beruht. Weyl betont in dieser Vorlesung die kinematische Deutung gebrochen-linearer Transformationen und die Beziehungen zwischen konformen Abbildungen und Str?mungstheorie. H?hepunkt der Vorlesung ist der Vergleich der Riemannschen und Weierstra?schen Behandlung mehrdeutiger analytischer Funktionen durch Riemannsche Fl?chen beziehungsweise analytische Fortsetzung.

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Das sahen wir schon früher auf Seite 18. Jetzt bei unserer kinematischen Auffassung wollen wir uns nun zur Veranschaulichung die Drehung kontinuierlich ausgeführt denken. Das versuchen wir zu erreichen, indem wir einen Parameter t, die Zeit, einführen, der uns gestatten soll, Zwischentransformationen passend einzuschalten. 16: Drehung und denken uns den Parameter t variiert. Nehmen wir etwa die Substitutionen Zt′1 = eiαt1 , Zt′2 = eiαt2 vor, so wird Zt′2 = eiα(t1 −t2 ) Zt′1 , das heißt, die Transformation von Zt′1 nach Zt′2 ist immer nur von der Zeitdifferenz t1 − t2 abhängig.

Die Ebene wird als solche mit einem unendlich fernen Punkt angesehen; diese Auffassung muss ja von vornherein in der Funktionentheorie zugrunde gelegt werden. Nun sei eine umkehrbar eindeutige Zuordnung der Punkte vorhanden, wobei auch dem unendlich fernen Punkt gerade ein Punkt entspricht. Nun soll der Charakter der Zuordnung derart sein, dass immer vier Originalpunkte, die auf einem Kreis liegen mögen – der auch durch den unendlich fernen Punkt gehen kann – wieder in Punkte eines Kreises übergehen.

Damit sind wir auf die ungebrochenen Substitutionen zurückgekommen und können zur kinematischen Deutung der gebrochenen Substitutionen unsere früheren Resultate anwenden, wobei wir dieselbe Unterscheidung der Fälle zu machen haben: 1. |A| = 1 2. A > 0 38 Kapitel 1. Stereographische Projektion und die linearen Substitutionen 3. A beliebig komplex. Dabei ist immer (a − d)2 + 4bc = 0 vorausgesetzt. Wollen wir also die Transformation der z-Ebene deuten, so deuten wir vorerst die entsprechenden in der Z-Ebene, wie es früher geschehen ist; um dann zur z-Ebene zurückgehen zu können, betrachten wir Folgendes.

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